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前言：

力学如力耕，勤惰尔自知。但使书种多，会有岁稔时。

于万千的人群中，于无际涯的时光里，没有早一步，也没有晚一步，我们在此处相遇。有几许命运，也有几分注定。在下面六十四个学时里，望我们彼此尊重，互相帮助，共同努力，共同进步！

——李庆芳老师寄语

绪论：

内容太多，挑了一个有意思的：

《红楼梦》第六十二回 憨湘云醉眠芍药裀 呆香菱情解石榴裙【探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日、两个一日的。】

问题：生日，只论某月某日，不论某年，假定一年有365天，问366个人中至少有两个人在同一天过生日的可能性有多大？那64个人中至少有两个人在同一天过生日的可能性又有多大？ （大还是小？）

结果：大

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第一章：基本概念

一、随机试验：

1、随机现象

1. 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2. 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.

2、随机试验

1. 可以在相同的条件下重复地进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

二、样本空间、随机事件

1、样本空间

1. 随机试验 的所有可能结果组成的集合称为 的样本空间。记为

2、样本点

1. 样本空间的元素，即试验 的每一个结果,称为样本点.

3、随机事件

1. 随机试验 的样本空间 的子集称为 的随机事件, 简称事件。
2. 每次实验中,当且仅当这一子集中的一个 样本点出现 时称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集, 称为 基本事件.
3. 样本空间包含所有的样本点. 它是自身的子集,在每次实验中它总是发生的， 称为 必然事件。
4. 空集不包含任何点。它也作为样本空间的子集，它在每次实验中都不发生,称为 不可能事件。

必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件, 它们互称为 对立事件.

4、对立事件和互斥事件

互斥事件：事件和的交集为空，与就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。

对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。非此即彼！

对立一定是互斥的，但互斥不一定是对立。即对立是互斥的特殊形式。

5、随机事件间的关系及运算

设试验的样本空间为，而是的子集.

6、德摩根律

口诀：长线变短线，开口变方向。

三、频率与概率

1、频率的定义

在相同条件下,进行了次试验,在这次试验中,事件发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件发生的频率,记为

2、频率的性质

设是随机试验的任一事件,则

3. 若是两两互不相容，则

频率大小表示事件A发生的频繁程度.频率大事件A发生就越频繁,这就意味着事件A在一次试验中发生的可能性就越大。

3、概率的定义

定义 ：设是随机试验，是它的样本空间。对于的每一事件赋予一个实数，记为，称为事件的概率。如果集合函数 P(·)满足条件:

1. 非负性:对于每一个事件,有;
2. 规范性:对于必然事件,有;
3. 可列可加性:设是两两互不相容的事件,即对于有

4、概率的性质(重要)

2. 有限可加性：若是两两互不相容事件，则有（互斥事件和事件的概率=概率和）
3. 设是两个事件，若，则有;
4. 性质3的推广： 一般性减法公式：
7. 一般性加法公式：
8. 一般性加法公式推广：加奇减偶
9. 特殊性加法公式：当和和互斥时：

四、等可能概型

注：此处排列组合只做简单介绍，详细相关内容请移步：

1

https://www.cnblogs.com/1024th/p/10623541.html

1、排列

1. 排列：
2. 全排列：

2、组合

1. 组合：

3、加法原理

绿色种方法，浅紫色种方法，完成共种方法。

4、乘法原理

第一步种，第二种种，共种方法。

5、古典概型

1. 定义

• 试验的样本空间只包含有限个元素；
• 试验中每个基本事件发生的可能性相同；

​ 2.古典概型计算公式

1. 抛硬币
2. 摸球
3. 分球入盒（生日问题）
4. 抽签模型（第一个人和第n个人概率一样）
5. 随机取数（最小公倍数）
6. 平均分配问题
7. 几何概型

五、条件概率

1、定义

设是两个事件，且,称为在事件发生的条件下事件发生的概率.

2、性质

大部分和前面的类似，就是多加了一个条件

1. 非负性
2. 规范性
3. 可列可加性
4. 一般性：
5. 或者（注意条件一样即可）
6. 乘法定理：
7. 乘法定理推广：

3、全概率公式

思想：化整为零，由因求果

4、贝叶斯公式

六、独立性

1、定义

设两事件，若满足则相互独立。

注意：相互独立和互斥不能同时独立

2、定理

1. 设是两个事件且若相互独立，则,反之亦然
2. 若事件和事件相互独立，则与，与，与也相互独立。

3、三个事件独立

设A,B,C为三个事件，若满足以下：

则ABC相互独立

注意：三个事件相互独立三个事件两两相互独立

4、个事件相互独立(推广 )

设 是个事件,如果对于任意,任意,具有等式,则称 为相互独立的事件,

注意：个事件相互独立个事件两两相互独立

第二章：一维随机变量及其分布

一、随机变量

1、定义

设随机试验的样本空间,是定义在样本空间上的单值实值函数称为随机变量.

二、离散型随机变量及其分布律

1、定义

若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 则称为离散型随机变量.

2、分布律

设离散型随机变量所有可能取的值为取各个可能值的概率,即事件的概率,为 称此为离散型随机变量的分布律

3、分布律的表示方法

1. 解析式法
2. 列表法
3. 矩阵法
4. 图表法

4、分布（两点分布）

定义：

设随机变量X只可能取与两个值，其分布是：则称服从以为参数的分布（两点分布）

分布律：

5、伯努利试验

设试验有和，独立可重复进行次，称为重伯努利试验.

独立：前一次的结果，不影响后一次的概率

可重复：概率相同

5、二项分布

二项分布为两点分布的推广形式，记为服从有。特别的，当n=1时，为两点分布。

分布律：

二项式定理：可以证明二项分布的规范性

6、泊松分布

设随机变量所有可能的取值为而各个值的概率为其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为。

证明其规范性需要用到泰勒公式

泊松定理：

设是一个常数，是任意正整数,设,则对于任一固定的非负整数,

三、随机变量的分布函数

1、引入

对于随机变量, 我们不仅要知道 取哪些值, 要知道 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知道 在任意有限区间内取值的概率.。

2、定义

设是一个随机变量，是任意实数，函数,称为X的分布函数。

3、性质

1. 是一个不减函数
2. 且
3. 即是右连续的

4、重要公式

四、连续型随机变量及其概率密度

1、概率密度

对于随机变量的分布函数存在非负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量，为概率密度。

2、概率密度性质

1. 非负性:
2. 规范性:
3. 对于任意的,有
4. 若在点处连续，则有

注意：对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值的概率均为0

3、均匀分布

区间长度的倒数

4、指数分布

若连续型随机变量X的概率密度为：其中为常数，则称服从参数为的指数分布。

越大，曲线越平

重要性质：无记忆性。对于任意,有

5、正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为：，

概率积分：

1. 对称轴：
2. 当时取得最大值为
3. 在处曲线有拐点
4. 是位置参数，是形态参数（越小，图像瘦高；越大，图像胖矮）

6、标准正态分布

一般正态分布标准正态分布：

若服从，则服从

五、随机变量的函数分布

1、离散型

逐点代入，有重复，便合并

2、连续型

• 分布函数求导法

用表示待求的

将关于y求导

• 套公式法

其中是的反函数

第三章：多维随机变量及其分布

一、二维随机变量

设是一个随机试验,它的样本空间是,设和是定义在上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量.

1、定义

设是二维随机变量，对于任意实数二元函数: 称为二维随机变量的分布函数,或称为随机变量和的联合分布函数.

2、性质

1. 不减函数
2. 对于任意固定的有,对于任意固定的有
3. ,
4. 关于右连续，关于右连续

3、联合分布律

1. 定义：设随机变量的所有可能的取值为取相应值的概率为称上式为二维离散型随机变量的分布律,或称为与的联合分布律.

   

4、二维连续型随机变量

1. 定义：设二维随机变量若存在非负可积函数,使得对任意实数若有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度函数,或称为与的联合概率密度。
2. 性质：非负性、规范性
3. 对于平面上任一区域G：二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积。

5、维随机变量的概念(推广）

1. 定义：

设是一个随机试验，它的样本空间是，设是定义在上的随机变量，由它们构成的一个维随机向量或维随机变量。

对于任意个实数元函数称为n维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数.

二、边缘分布

1、边缘分布函数

• 定义

设为随机变量的分布函数,如令,称为随机变量关于的边缘分布函数。记为 同理令,得： 为随机变量关于边缘分布函数。

2、离散型随机变量的边缘分布律

• 定义

设二维离散型随机变量的联合分布律为

记

分别称和为关于和关于的边缘分布律。

• 离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为：

3、连续型随机变量的边缘分布

• 定义

对于连续型随机变量，设它的概率密度为,由于

记

称其为随机变量关于的边缘概率密度。

同理可得：随机变量关于的边缘概率密度为

• 二重积分

口诀：求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。

此处涉及到二重积分的相关高数知识，详情请看【点击这里】

• 特殊的二维正态分布

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数

• 注意

三、条件分布

1、离散型随机变量的条件分布

• 定义

设是二维离散型随机变量 ，对于固定的若，则称 ， 为在条件下随机变量 X的条件分布律.

​ 同样,对于固定的若,则称为在条件下随机变量的条件分布律。

• 条件分布律的性质

1. 非负性
2. 规范性

2、连续型随机变量的条件分布

• 定义

设二维随机变量的概率密度为,关于的边缘概率密度为.若对于固定的,

则称为在的条件下的条件概率密度,记为